Maths & poker
Les dénombrements (1)
Le dénombrement des mains
Bon, on commence facile, il suffit de compter…Mais quand même pas n’importe comment.
Combien y a-t-il de mains différentes au hold’em ?
D’abord qu’est-ce qu’on appelle une main ? C’est un ensemble de 2 cartes différentes. 
est une carte différente de 
ou de 
ou de 
.
Lorsqu’on vous donne 2 cartes : il y a la première et la seconde .
NB : c’est souvent plus facile pour ce genre de calcul de distinguer l’ordre dans lequel se passent les choses, même si ce n’est pas vrai : si on donnait les cartes en même temps, ça ne changerait strictement rien…
Le jeu comportant 52 cartes, ça fait 52 possibilités pour la première carte. Mais quand vous en avez déjà une, il n’y a plus que 51 possibilités pour la seconde. Comme vous pouvez avoir 51 secondes cartes avec 52 première cartes, ça fait donc 52x51 = 2652 possibilités. Mais attention, il y a un premier piège ! Avec ce raisonnement, j’ai compté par exemple une fois 
et une autre fois 
. Or une fois que les cartes ont été données, l’ordre n’a plus d’importance et ces deux mains n’en font qu’une seule. Il faut donc encore diviser le calcul précédent par 2.
Il y a donc au hod’em 52x51/2 mains différentes, soit 1326.
Au bridge, il y en a 635 013 559 600. Ca ne semble donc pas très compliqué, le poker…
Qu’est-ce qu’une classe classes de mains au hold’em ?
Je pourrais employer le mot « type » ou « catégorie » ou « sorte ». Si j’emploie "classe", c’est que ce mot a aussi une signification mathématique précise et c’est justement celle-ci que nous allons utiliser.
On dispose d’un ensemble de 1326 mains. Au sein de celui-ci , on peut définir ce qu’on appelle une relation d’équivalence. Je dis que deux mains sont équivalentes, lorsque, préflop, elles ont exactement le même potentiel de gain.
Etc…
Maintenant, j’appelle « classe d’équivalence » un sous-ensemble de mains qui sont toutes équivalentes. Par exemple, les paires d’as sont toutes équivalentes et constituent une classe : la classe des paires d’As.
Les non-paires XY de même couleur constituent encore d’autres classes.
Par exemple 
et 
sont des mains équivalentes.
Et les non-paires XY de couleur différentes sont encore d’autres classes.
Combien y-a-t-il de classes de mains au hold’em ?
Il y a d’abord les « classes de paires » de type XX. Il est facile de voir qu’il y en a 13, de la paire d’as à la paire de 2.
Il y a ensuite les classes composées de cartes différentes XY de même couleur. Combien y en-a-til ? J’ai 13 possibilités pour X , et plus que 12 pour Y puisque Y doit être différent de X (sinon ce serait une paire). Mais comme pour les mains préflop, en multipliant 13 par 12, je compte deux fois XY et YX. Il faut donc encore diviser par 2. Ce qui nous donne 13x12/2 = 78 classes.
Et pour les classes XY de couleurs différentes, le même raisonnement nous dit qu’il y en a aussi 78.
Donc au total :
13 classes de paires XX
78 classes de non-paires XY « suited »
78 classes de non-paires XY « unsuited »
soit 169 classes de main.
NB : 169=13x13. Vous voyez pourquoi … ?
Combien y-a-t-il de mains différentes dans chaque classe de mains ?
Là, nous allons commencer à aborder les choses sérieuses.
Combien y-a-t-il de paires d’As ? (ou de paires de n’importe quoi) . il y en a exactement 6 :
Merci à celui qui en trouve une autre de me contredire. Donc 6 paires d'A , 6 paires de K, 6 paires de Q, etc...(Vous avez remarqué aussi ,qu'on a plus souvent l'impresssion d'avoir une paire de 4 qu'une paire d'As ?)
Combien y-a-t-il de mains XY suited ? Pour X et Y fixés,il y en a bien sûr 4 : XY à pique, cœur, carreau ou trèfle. Par exemple pour 83
Copmbien y-a-t-il de mains XY unsuited ? Pour X et Y fixés, il y en a 12. On peut avoir XY à PC, PK, PT, CP , CK, CT, KP, KC, KT, TP , TC et TK. Et là il ne faut pas diviser par 2 car 
n’est pas la même main que 
.
Donc, (et ce résultat est très important pour la suite) :
- pour chaque classe de paires XX, il y a 6 mains différentes
- pour chaque classe de non-paires XY suited, il y a 4 mains différentes
- pour chaque classe de non-paires XY unsuited , il y a 12 mains différentes
On remarquera alors qu’il y a ;
- 13 classes de paires XX comportant chacune 6 mains , soit 78 mains
- 78 classes de non-paires XY suited comportant chacune 4 mains, soit 312 mains
- 78 classes de non-paires XY unsuited comportant chacune 12 mains, soit 936 mains
Et que 936+312+78= 1326 mains, ce qui nous redonne le nombre de mains calculé au départ…
Sur ce petit miracle mathématique, nous conclurons ce post déjà long. Ce qui veut dire qu’il y en aura (au moins) un autre sur le dénombrement : combien y-a-t-il de flops ?
samedi 18 août 2007
